Namnożyło się ostatnio pożal-się-Boże ekspertów uzasadniających wzrost podatków szykowanych przez nie-rząd Tuska. Towarzysze Trolle na informacje, że podniesienie podatków najprawdopodobniej spowoduje spadek wpływów do budżetu powołują się na niesprecyzowane autorytety negujące istnienie krzywej Laffera. Niestety ekonomia socjalistyczna, której uczono w (post)socjalistycznych uniwersytetach musiała usunąć logikę oraz matematykę. Inaczej dowodzenie wyższości socjalizmu nad kapitalizmem nie miało by sensu.
Dlatego w tym wpisie przyjrzymy się krzywej Laffera z punktu widzenia królowej nauk – matematyki.
Artur Laffer zbadał dochody budżetowe (d) z danego podatku jako funkcję stawki podatkowej (s)
f(s) = d (1)
Ponieważ mówimy o dochodach podatkowych, to można założyć, że
d >= 0 (2)
Stawka podatkowa jest wartością nieujemną czyli
s >= 0 (3)
Zauważył, że przy zerowym podatku dochód jest zerowy, czyli
f(0) = 0 (4)
Zauważył również, że przy opodatkowaniu 100% nie ma sensu generować danego zysku, czyli
f(100) = 0 (5)
Należy zauważyć, że jeśli podatek 100% powoduje bezsens danej aktywności to podatki większe niż 100% też powodują bezsens danej aktywności, czyli
dla każdego x > 100, f(x) = 0 (6)
W związku z (6) rozpatrzmy funkcję f na przedziale domkniętym <0, 100>.
Dowód ciągłości funkcjifpozostawmy intuicyjny.Z nieformalnej definicji wynika że funkcja jest ciągła gdy „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie” (definicja Cauchy'ego). Jak podpowiada intuicja dochód z opodatkowania spełnia ten postulat.
Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że nasza funkcjaf(s) przyjmuje w przedziale <0, 100> wartość minimalną oraz maksymalną. Oraz że jest ograniczona. Wartości minimalne zostały przedstawione w punktach (4) i (5). Istnienie wartości maksymalnej wynika z przytoczonego powyżej twierdzenia.
W ten to sposób udowodniłem poprawność krzywej Laffera czyli, że w przedziale opodatkowania od 0% do 100% wartość podatku przyjmuje co najmniej jedno maksimum. Co więcej maksimum nie jest przy zerowej stawce podatku jak również nie przy 100%.
